REGLA 3. En cualquier triángulo, si se une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto media
REGLA 3. En cualquier triángulo, si se une un vértice con un punto cualquiera del
lado opuesto mediante una recta, los ángulos que determinan la recta con los otros
dos lados del triángulo son menores que el ángulo comprendido por estos lados.
El enunciado de esta regla fue explicado mediante el siguiente dibujo:
El vértice es C, el lado opuesto a C es AB, y el punto en él es D. Entonces, el
ángulo ∠ACD y el ángulo ∠BCD son menores que el ángulo de vértice C, es
decir, el ángulo comprendido por los lados AC y BC.
Una vez más, me aseguré de que la regla estuviera comprendida comple-
tamente con preguntas sencillas, similares a las utilizadas con las dos prime-
ras reglas.
Sobre las dos primeras reglas, no hubo ninguna objeción. Respecto de
esta tercera regla, opinó que estaba de sobra, pues era evidente que así debía
suceder. Mi respuesta fue que la regla era necesaria para que supiéramos
todas las reglas que requeríamos, evidentes o no. El problema de explicar
por qué se eligen unas reglas y no otras es un tema fundamental para la
enseñanza de la Geometría en la secundaria.
Llegados a este punto, le informé que ya teníamos las reglas suficientes
para demostrar que la figura del dibujo que pretendía ser solución al pro-
blema de los palillos era imposible. Le propuse que intentará encontrar la
2Como el lector sabe, esta última afirmación no es cierta del todo; se han utilizado, también,
axiomas como los de la transitividad.
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explicación. Sin embargo, no lo hizo; no sé si porque seguía pensando que su
solución era correcta, o porque aún no tenía claro cómo utilizar las reglas; es
decir, aún no tenía asumido el método. Pienso que las dos eran las razones.
—Te concedo, por un momento, que sí es posible realizartu dibujo —dije,
e hice el siguiente dibujo a continuación:
—¿Estás de acuerdo en que los △ABC y △ACD son equiláteros?
—Sí.
—¿Por qué? —volví a preguntar—. ¡Siempre debes dar las razones de tus
afirmaciones, y esas razones siempre estarán respaldadaspor las reglas o por
lo datos del problema!
—Los lados de esos triángulos son los palillos...
—Representan los palillos —interrumpí—. ¿Y eso qué significa?
—Que se supone que los palillos son de la misma medida —dijo.
—Así es y, en este caso,tu respuestase respaldaen los datos del problema
—completé yo, aunque no debí haberlo hecho; debí exigir que él lo hiciera.
—Como los triángulos △ABC y △ADB son equiláteros, sé que cada uno
de sus ángulos mide 60◦.
—¿Por qué? —pregunté.
—Eso lo averigüé cuando resolví el problema 2.
—En efecto —confirmé—. Ahora registra el conocimiento que acabas de
descubrir para los ángulos de vértice C en ambos triángulos.