This course will become read-only in the near future. Tell us at community.p2pu.org if that is a problem.

Funciones cuadráticas


Lo siguiente es la propuesta de Elias Colipe:
 
 
Considerando que la discusión de las funciones no fue profundizado y de su gran importancia para la comprensión de otros contenidos matemáticos he decidido seleccionar LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
 
 
1. ¿ Cuáles son los aprendizajes previos que se deben considerar al momento de enseñar la función cuadrática?
 
2.¿Qué metodología didáctica permite una buena introducción y comprensión de la función cuadrática?
 
3. ¿Cuáles son los métodos para solucionar una función cuadráticas?
 
4.¿A qué tipos de problemas las podemos aplicar?
 
5.¿Para qué tema o temas matemáticos la función cuadrática es un aprendizaje previo?
"

Task Discussion


  • Lidia Gutiérrez   July 17, 2012, 3:35 p.m.

     

    FUNCIONES CUADRÁTICAS

     

    En esta guia se pueden apreciar algunas actividades, aplicadas en la vida cotidiana sobre el uso de las funciones cuadráticas.

    ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

     

     

    Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?

    Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.

    Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).

    Si el área del camino ha de ser de 30 m, utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.

    ¿Para qué valor de x es A = 100?

     

    Actividad resuelta
     

    1. El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

      Observa la tabla:

       

      euros descuento

      0

      1

      2

      x

      Precio

      30

      30-1

      30-2

      30-x

      Nº espectadores

      500

      500+100.1

      500+100.2

      500+ 100x

      Ingresos

      30.500

      (30-1)·(500+100.1)

      (30-2)·(500+100.2)

      (30-x)·(500+100.x)

       

      Los ingresos obtenidos son

      siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

      Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

       

      Las funciones f(x) = x2 + 6x g(x) = x + 16  y   G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000

      que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

       

      Gráfica de las funciones cuadráticas

       

      La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

       

       

      x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
      f(x) = x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

      Esta curva simétrica se llama parábola.

       

      Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

      Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.

      x -1 0 1 2 3 4
      f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

      Completando la gráfica obtengo:

       

      Actividades resueltas

       

       

    2. Dada la parábola  y = x2  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

       

      a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

      b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

      c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

      d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

      , que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

      e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

      f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

      g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

      Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

      h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

       

       

    3. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

      y = x- x + 1 .

       

      a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

       

      b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x- x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

       

      c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

       

      d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

      y = 22-2+1=3. C = (2,3).

       

      Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax+ bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

       

      Obtención general del vértice

      Sea la parábola y = ax2 + bx + c

       

      Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

      Igualando:

      a x2 + b x + c = c → a x2  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

      La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

       

      Ejemplo

      Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces  y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

       

      Actividad

       

       

    4. Dada la parábola  y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.

       

      Cortes con los ejes

       

      Observa las parábolas:

      a.    y = - x2 + 2x + 3

       

       

      Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

      Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

       

      El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

      b.   y = x2 - 4x + 4

       

       

      Puntos de corte con el eje X:

      Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

       

      Punto de corte con el eje Y: (0,4).

      c.   y = x2 - 2x + 3

       

      Puntos de corte con el eje X:

      Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.

       

      Punto de corte con el eje Y: (0,3)

       

      Actividades

       

       

    5. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:

      a.   y = 2x2 -14x + 24         b.   y = 5x2 - 10x + 5        c.   y = 6x2 + 12

      d.   y = 3(x - 2)(x + 5)        e.   y = 3(x - 2)2                f.   y = 3(x2 + 4)

       

       

    6. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

       

       

    7. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

       

       

    8. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

       

       

      Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

       

      Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

       

      Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).

      Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

      Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

      Un resultado importante

       

      La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax+ bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

      Por ejemplo:

       

      La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

       

      Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.

      Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

       

      Actividad

       

       

    9. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x + 4 .

      Parábolas del tipo y = ax+ c , (b = 0)

       

      La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2 , desplazándola 3 unidades

      hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .

       

       

       

      La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 unidades hacia abajo.

      El nuevo vértice es V(0,-4) .

      Las parábolas del tipo y = ax+ c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).

       

       

       

       

       

      Parábolas del tipo y = ax+ bx , (c = 0)

       

      La gráfica de la parábola y = 2x- 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1.

      Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

       Si la parábola es del tipo y = ax+ bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)

       

      Actividades

       

       

    10. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:

       

       

       

       

      Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.

       

      Actividad resuelta

       

       

    11. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y C(3,-12).

       

      Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,

      -5 = a(-4)+ b(-4) + c = 16a - 4b + c.

      De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)+ b(-2) + c = 4a - 2b + c.

      Y C(3,-12) : -12 = a(3)+ b(3) + c = 9a + 3b + c.

       

      Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 

       

       

      Para resolverlo, puedes utilizar este método general:

      Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.

      Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1 , b = -2.

      Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos c = 3.

      La parábola buscada es y = -x- 2x + 3.

      Represéntala gráficamente.

      Actividades

       

    12. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

      A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).

      P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0).

       

      Representación gráfica de una parábola

       

      Actividades resueltas

       

       

    13. Dibuja la gráfica de y = x2  - 2x - 8

      Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

      La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9).

      Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.

       

      Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x2 - 2x - 8.

      Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).

       

       

    14. Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.

       

      Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

      La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

       

      Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).

      Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:

                                              

       

       

    15. Dibuja la gráfica de  

      Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

      La 1ª coordenada del vértice es  

      La segunda coordenada será:  .

      El vértice es, pues, V(2,-1)

      Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:

                              

      Resumiendo:

      Dada la parábola y = ax+ bx + c, entonces:

      Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de x.

      Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.

      Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.

      Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .

      Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax+ bx + c = 0  y pueden ser dos, uno o ninguno.

      La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.

      Actividades

       

    16. Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:

       

      Resolución del caso 1 :

       

      a< 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

      La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b1/2a< 0; luego -b> 0, o lo que es lo mismo, b< 0.

      El único corte con el eje Y es el punto (0,c1). Observando la gráfica c< 0.

      Estudia los otros casos.

       

      Dibuja una parábola y = ax+ bx + c para cada caso según sea el signo de ab y c:

       

       

       

      a

      b

      c

      1

      > 0

      > 0

      > 0

      2

      > 0

      > 0

      < 0

      3

      > 0

      < 0

      > 0

      4

      > 0

      < 0

      < 0

      5

      < 0

      > 0

      > 0

      6

      < 0

      > 0

      < 0

      7

      < 0

      < 0

      > 0

      8

      < 0

      < 0

      < 0

       

       

      Optimización

       

      Actividad resuelta

       

       

    17. El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio.

       

      Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son

      G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x2 + 2500x + 15000,

      siendo x el nº de bajadas de 1 €  en el precio de la entrada.

       

      Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.

      La primera coordenada del vértice es:  .

      El número real de descuentos de  1 €  que garanticen un máximo de ganancias se obtienen para:

       

      x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  € )

       

      x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  €)

      Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de  30625 €.

       

       

      Actividades

       

       

    18. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.

       

       

    19. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos están relacionados por la ecuación y = -4x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.

      Intersección de recta y parábola

       

      Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas.

       

      Actividades resueltas

       

       

    20. Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.

       

      Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

      x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2.

       

      Si x1 = 1, entonces y1 = 1.

      Si x2 = -2, entonces y2 = 4.

       

      Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente.

      Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.

       

       

    21. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .

       

      El sistema tiene ahora una solución (3,-9).

      Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.

       

       

    22. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5.

       

      El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.

       

      En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:

      según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.

       

      Actividad resuelta

       

       

    23. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

       

      El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema  , que tiene dos soluciones:

      x= 6/4 = 1'5 (y= 3) y x= -1, que no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3).

       

      Actividad

       

       

    24. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.

      a.   Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

      b.   ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

       

       

      Área bajo de una curva

      Podemos estimar el área encerrada por una curva . Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola  y = 4x - x2  con x tomando valores desde 0 hasta 4.

       

      A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos , cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.

       

      Sólo necesitas recordar :

       

      Área del triángulo =; Área del trapecio = 

       

      En nuestro caso, , cuya suma total proporciona un área aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área total)

       

      Actividad resuelta

       

       

    25. El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se corresponde con la curva  con x tomando valores desde -20 hasta 20.

      Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:

       

      que nos proporciona la gráfica adjunta.

       

      La suma de estas áreas es de 690 m 2.

       

      El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).

       

      Actividades

       

       

       

    26. Dibuja la gráfica de  para valores de x desde 0 hasta 5.

       

    27. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para construir esta pieza.

       

    28. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por la ecuación  con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.
  • Elias Colipe   June 26, 2012, 9:38 a.m.

    Aporte de Alina de Cauca

     

    Conocimientos previos que se deben considerar al enseñar el tema de las funciones cuadráticas:

    ·         Definición de función

    ·         Elementos de una función (dominio, rango)

    ·         Notación de funciones

    ·         Evaluación de funciones

    ·         Clasificación de las funciones (función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva)

    ·         Función inversa

    ·         Función identidad

    ·         Función lineal

    ¿Qué metodología didáctica permite una buena introducción y comprensión de la ecuación cuadrática?

    La siguiente propuesta tomada de (Secuencia didáctica para la enseñanza de la función cuadrática, María Rey Genicio, Liliana Tapia, Héctor Tarifa, Clarisa Hernández Facultad de Ingeniería- Universidad Nacional de Jujuy- Argentina) es interesante para la introducción del tema, ya que  la idea es proponer actividades a los estudiantes, para que ellos puedan construir el concepto de función cuadrática. Algunas actividades planteadas son:

    Actividad 1

    a) Dado el cuadrado ABCD de 10 cm de lado y cuatro puntos M, N, O y P ubicados según los datos del gráfico; encontrar el área del cuadrado MNOP

    b) Repetir la actividad anterior considerando que las medidas de las distancias de los puntos M, N, O y P a los respectivos vértices sean: 4; 6; 9; 2,4; 7,6.

    c) Encontrar una fórmula que permita calcular el área del cuadrado MNOP cuando la distancia a los vértices es x cm.

    d) Investigue cuál será la distancia de los puntos M, N, O y P a los respectivos vértices para que el área sea mínima.

    Actividad 2

    a) Con los resultados obtenidos en la actividad anterior armar una tabla de valores.

    b) Volcar los datos en un sistema de coordenadas cartesianas.

    c) Teniendo en cuenta lo trabajado hasta el momento:

    i) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable independiente?

    ii) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable dependiente?

    iii)¿Se pueden unir los puntos del gráfico con una curva?

    Actividad 3

    a) Realizar una tabla de valores y representar gráficamente en un sistema de coordenadas

    cartesianas la función: y = x²

    b) Del gráfico obtenido en el punto anterior escribir lo que se observa en cuanto a

    eje de simetría y coordenadas del vértice.

    c) Detallar las similitudes y diferencias que se observan al comparar los gráficos de: y = x²

    con Area(x) = 2 x²  – 20 x + 100

    d) Modificar la fórmula de la función y = x²  para que la parábola:

    i) Quede abierta hacia abajo.

    ii) La curva sea más cerrada

    iii) La curva sea más abierta.

    iv) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia arriba.

    v) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia abajo.

    vi) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia la izquierda.

    ¿Para qué temas la función cuadrática es un aprendizaje previo?

    ·         Función cúbica

    ·         Funciones polinomiales

    ·         Función racional

    ·         Función irracional

    ·         Función exponencial

    ·         Función logarítmica

    Métodos para solucionar una ecuación cuadrática

    ·         Solución por factorización

    ·         Solución por completación de cuadrados

    ·         Solución por la fórmula general

    Podemos aplicar estos métodos para resolver situaciones como:

    ·         La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

    ·         El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta  3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

    ·         La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y (t) = 100t - 5t2, donde t se mide en segundos y la altura y (t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?

    I) 6 segundos

    II) 10 segundos

    III) 14 segundos

    Alternativas

    A) Sólo en I

    B) Sólo en II

    C) Sólo en III

    D) Sólo en I y en II

    E) Sólo en I y en III 

  • StefanBorn   June 26, 2012, 8 a.m.

    Cuanda tratamos la noción de función, sera importante de dar todo tipo de ejemplos. Me parece que las preguntas de Elias son mas importantes para el futuro repositiorio de la aula virtual que para las tutorías.

    Sim embargo, cuando se trata la noción de funciones y de sus propriedades, me parece importante empezar con ejemplos simples, entre otros funciones cuadráticas.

    1. ¿ Cuáles son los aprendizajes previos que se deben considerar al momento de enseñar la función cuadrática?
     
    En general, antes de tratar funciones cuadraticas, se han tratado funciones lineales, sus graficas, la interpretacion de los puntos de intersección entre la grafica y los ejes. En ese contexto funciones constantes son los unicos ejemplos de funciones que no son inyectivos y que no son sobreyectivos.  En la clase de funciones lineales la ecuación f(x)=c o permite una
    solución unívoca o ninguna, o un numero infinido de soluciones.
     
    2.¿Qué metodología didáctica permite una buena introducción y comprensión de la función cuadrática?
     
    Me parece bien no tener un 'camino unico', pero tener en cuenta diferentes contextos posibles de introducción. No son iguales los estudiantes.
     
    De un punto de vista algebraico, conociendo las operaciones algebraicas de mulitplicación y adición,  casi se impone la definición de polinomios, y a través de ellos funciones.  Entonces se ofrece de estudiar polinomios del grado 2 despues de haber tratado los lineales.  Pero eso quizás no sirve de buena motivación.
     
    Entonces, desde el punto de vista analítico, se puede empezar con los modelos fisicos mas simples, donde ocurren funciones cuadráticas, como por ejemplo 1) el diagrama altitud-tiempo de  una piedra que cae 2) la trayectoria de  una piedra que se tira (con fricción despreciable).
     
    Desde un punto de vista geométrico se pueden tratar los conicos como interseccion de un plano con un cono y preguntarse que figuras ocurren, y despues intentar de describirlos con funciones.
     
    En cada de los tres contextos hay que resolver ecuaciones cuadráticas.  Para los modelos físicos eso resuelve problemas mas o menos naturales: ¿Cuanto tiempo necesita la piedra para llegar al suelo o al techo?  En el contexto geométrico se presentan problemas de interseccion, que se resuelven con tales ecuaciones.
     
     
    3. ¿Cuáles son los métodos para solucionar una función cuadráticas?
     
    Hay que presentarles
    1)  la funcion 'raiz' y sus propriedades con el problema no trivial, como se calcula una raíz.
    2) la idea de convertir la ecuacion ax^2+bx+c=0 en
    algo de forma c(x-d)^2+e=0, y despues encontrar la solución con raizes.
     
    Despues se obtiene una formula. Muchas veces encuentra estudiantes,
    que recuerdan las formulas, pero han olvidado como se obtienen. Eso no me
    convence.
     
    Hay que discutir los tres casos: una solución, dos  soluciones, ninguna
    y su interpretacion gráfica.   Aqui se ven algunos casos mas interesantes
    de no ser inyective/sobreyectivo.
     
    Si se habla de la idea 2), se implica la pregunta, si eso es siempre
    posible, por ejemplo para ecuaciones del grado 3,4,....     Me parece
    importante mencionar, que para grados >=5 en general no es posible.
    Tambien se puede mencionar, que la solución segun 2) corresponde
    a una construccion con compás y lineal.  Se puede poner el problema:
    Como se obtiene una raiz con compás y linea.
     
     
    4.¿A qué tipos de problemas las podemos aplicar?
     
    v. arriba.
     
    5.¿Para qué tema o temas matemáticos la función cuadrática es un aprendizaje previo?
     
    En el contexto algebraico se ofrece preguntarse, que pasa con funciones y ecuaciones de un grado >=3,  dado el  ejemplo de grado 2.
     
    En el contexto analítico del uso de funciones me parece solo un ejemplo simple y importante de funciones.