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Task Discussion


  • Víctor Mejía   May 21, 2012, 5:49 a.m.

    En teoría de conjuntos, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos por clase de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. A su vez, esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «asimilando» todos los elementos de una misma clase a un solo y único elemento, lo que define la noción de conjunto cociente.

    ClasiBinaEs 004.svg

  • Víctor Mejía   May 9, 2012, 3:32 p.m.

     

    Definición

    Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

    • Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,
    \forall x\in K, \; xRx.
    • Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,
    \forall x,y\in K, \; xRy \; \Rightarrow \; yRx
    • Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
    \forall x,y,z\in K, \; xRy , yRz \; \Rightarrow \; xRz
    • Notación: La relación de equivalencia entre dos elementos x e y se denota x = y (mod R) que se lee « x equivalente a y módulo R.»

    Una relación de equivalencia \sim sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado (K,\sim)\,.