¿Cómo explicarías límite y continuidad?

Task Discussion

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  Jhoana Sandoval   June 16, 2012, 11:53 p.m.

  Salud@s!

  Nuestro aporte se encuentra en google docs, en la carpeta ''TUTORIA''.

  https://docs.google.com/document/d/1-bgP3O_bo-TdNftQvupAoOB_q4G0HbS_trxOzOciCGA/edit?pli=1

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  StefanBorn   June 18, 2012, 8:32 a.m.
  In Reply To:   Jhoana Sandoval   June 16, 2012, 11:53 p.m.

  No voy a dar una exposicion independiente, sino voy a comentar la muy amplia discusión de Jhoana.

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  Me parece muy bien empezar con un ejemplo físico y dar le la ocasión al
  estudiante de descubrir la noción de continuidad, de intentar de
  definirla, antes de presentar la definición matemática.
  Solo voy a comentar los detalles del ejemplo presentado.
  
    * El ejemplo físico dado no me convence, parece pseudo-físico. No es
      tan facil dar un ejemplo físico para la discontinuidad. La bola del
      ejemplo de todas maneras saltaría, por que la forma de la
      trayectoria exigiría, que el componente vertical de la velocidad
      cambia de manera discontinua (cuando sigue la parte horizontal,
      tiene que ser zero.) Mejor darles un ejemplo asi, tipo 'farallon':
     

  
  
      Y mejor que no sea una bola, sino un objeto muy pequeño planeando,
      que 'de repente' se encuentra cayendo.

  
    * Aqui descubren la definicion de continuidad de f en x
      \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 :  f(U_\delta (x)) \subset U_\espilon(f(x))   .
  
      Esa definición me parece mas adecuada al aprendizaje que la
      definicion con limites de succesiones.
      Pero hay que considerar el contexto curicular. Si los estudiantes ya
      han aprendido algo sobre convergencia de succesiones, se puede
      plantear el problema de una manera diferente: Sie nos acercamos a x
      con una succesion, que pasa con los valores f(x).

  
    * En ambos casos me parece importante hablar tambien de la otra definición
      que hace falta.

  
    * El ejemplo físico que he dado todavía es mentira didáctica.
     'Natura non facit saltus.' Entonces se puede pasar de la nocion
     de continuidad a la noción de cuantificar la continuidad ('modulus of continuity'): Dado un
     $\epsilon>0$, mas grande puedes eligir el $\delta>0$, mas continua
     es la función (se puede definir una secuencia de 'farallónes' continuas,
     cada vez mas escarpadas.)

  
    * Para entender una propriedad ('continuidad') hay que saber también
      la negación de esa propriedad.
      En el caso de continuidad me parece importante tratar una lista de
      ejemplos que le permite al estudiante de hacerse una tipología de
      discontinuidades. Por suerte en el caso de funciones \R\to \R solo hay pocos tipos.
     1. salto 2. salto infinito, polo 3. discontiuidad de
      oscilación como f(x)=sin(1/x) para x \not= 0 y f(0)=0 y combinaciones
      de esos.
      En la exposicion de Jhoana solo ocurren ejemplos de los tipos 1. y
      2. Me parece importante darles tambien un ejemplo del tipo 3. Muchas
      veces he hablado con estudiantes, que tenían las siguientes nociones
      inadecuadas de la continuidad, aprendidas no sé donde.
  
          /Si la gráfica es una línea sin interrupción, la función es
          continua./
  
      o
  
          /Si la gráfica se puede dibujar con un lapiz sin alzar, la
          función es continua./
  
      Eso haría parte de una colección de *Malentendidos frecuentes*.
      El malentendido mas grande detras de eso es el siguiente: Que la continuidad es algo simple. 
      No lo es. Tiene que ser al menos asi dificil que los limites de secuencias. La continuidad de f en
      los siguientes ejemplos  da la ocasión de ver, que  en general hay que ser creativo y trabajar
      para encontrar una demonstración de continuidad:

        f(x)=x sin(1/x) para x\not=0 y f(0)=0.

        f(x)=x log(x) sin(1/x) para x>0 y f(x)=0 para x<=0.

  
    * El ejemplo físico que he dado todavía es mentira didáctica. 'Natura
      non facit saltus.' Entonces se puede pasar de la nocion de
      continuidad a la noción de cuantificar la continuidad: Dado un \epsilon >
      0, mas grande puedes eligir el \delta > 0, mas continua es la función.

   

  
    * Me parece también importante mencionar el significado de la
      continuidad para modelos matemáticos en las ciencias.
      Puedes medir una cantidad X física (p.e. temperatura de un reactor)
      solo con un error \delta. Entonces, si una cantidad Y (p.e. presión del
      reactor) depende de X a través una función f, es decir Y=f(X),
      entonces se puede controlar la presión del reactor a través la
      temperatura, si f es una función continua.
      Si tienes que garantizar un error < \epsilon de la presión con respecto a
      la presión exigida, entonces la continuidad de permite de saber que
      una medida suficientemente exacta (error < \delta) te lo permite.
      En general el proceso de medir no tiene sentido para cuantidades
      discontinuas.