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FUNCIONES CUADRÁTICAS

En esta guia se pueden apreciar algunas actividades, aplicadas en la vida cotidiana sobre el uso de las funciones cuadráticas.

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?

Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.

Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).

Si el área del camino ha de ser de 30 m², utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.

¿Para qué valor de x es A = 100?

Actividad resuelta

El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:

euros descuento	0	1	2	x
Precio	30	30-1	30-2	30-x
Nº espectadores	500	500+100.1	500+100.2	500+ 100x
Ingresos	30.500	(30-1)·(500+100.1)	(30-2)·(500+100.2)	(30-x)·(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son

siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x² + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Las funciones f(x) = x² + 6x, g(x) = x² + 16 y G(x) = - 100 x² + 2500 x + 15000

que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x²	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x² -2 x - 3.

x	-1	0	1	2	3	4
f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

Completando la gráfica obtengo:

Actividades resueltas

Dada la parábola  y = x² - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x²- x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x²- x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax²+ bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x² + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si  f(x) = x² + 4 x + 3, entonces  y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Actividad
Dada la parábola  y =- x² + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.

Cortes con los ejes

Observa las parábolas:

a.    y = - x² + 2x + 3

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x² + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

b.   y = x² - 4x + 4

Puntos de corte con el eje X:

Resolviendo la ecuación x² - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

Punto de corte con el eje Y: (0,4).

c.   y = x² - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuación x² - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.

Punto de corte con el eje Y: (0,3)

Actividades
Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:

a. y = 2x² -14x + 24 b. y = 5x² - 10x + 5 c. y = 6x² + 12

d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)² f. y = 3(x² + 4)
Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

Parábolas del tipo y = ax² (b = 0 , c = 0)

Las parábolas de ecuación y = ax² tienen por vértice el punto V(0,0).

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Un resultado importante

La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x², es decir, cualquier parábola del tipo y = ax²+ bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax².

Por ejemplo:

La parábola y = 2x²-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x²; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

Al someter la parábola y = 2x²-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x².

Las parábolas y = ax² + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax².

Actividad

Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x² sobre la parábola y = 3x²- 9x + 4 ^.

Parábolas del tipo y = ax²+ c , (b = 0)

La gráfica de g(x) = 2x² + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x² , desplazándola 3 unidades

hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .

La gráfica de h(x) = x² - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x² , desplazándola 4 unidades hacia abajo.

El nuevo vértice es V(0,-4) .

Las parábolas del tipo y = ax²+ c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax², c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).

Parábolas del tipo y = ax²+ bx , (c = 0)

La gráfica de la parábola y = 2x²- 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1.

Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

Si la parábola es del tipo y = ax²+ bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)

Actividades

Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:

Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.

Actividad resuelta
Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y C(3,-12).

Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,

-5 = a(-4)²+ b(-4) + c = 16a - 4b + c.

De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)²+ b(-2) + c = 4a - 2b + c.

Y C(3,-12) : -12 = a(3)²+ b(3) + c = 9a + 3b + c.

Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Para resolverlo, puedes utilizar este método general:

Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.

Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1 , b = -2.

Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos c = 3.

La parábola buscada es y = -x²- 2x + 3.

Represéntala gráficamente.

Actividades
Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).

P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0).

Representación gráfica de una parábola

Actividades resueltas
Dibuja la gráfica de y = x² - 2x - 8

Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<² - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9).

Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x² - 2x - 8.

Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).
Dibuja la gráfica de y = 4x² + 4x + 1.

Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)² + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:

Dibuja la gráfica de

Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

La 1ª coordenada del vértice es

La segunda coordenada será: .

El vértice es, pues, V(2,-1)

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:

Resumiendo:

Dada la parábola y = ax²+ bx + c, entonces:

Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de x².

Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.

Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.

Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .

Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax²+ bx + c = 0 y pueden ser dos, uno o ninguno.

La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.

Actividades

Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:

Resolución del caso 1 :

a₁< 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b₁/2a₁< 0; luego -b₁> 0, o lo que es lo mismo, b₁< 0.

El único corte con el eje Y es el punto (0,c₁). Observando la gráfica c₁< 0.

Estudia los otros casos.

Dibuja una parábola y = ax²+ bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y c:

	a	b	c
1	> 0	> 0	> 0
2	> 0	> 0	< 0
3	> 0	< 0	> 0
4	> 0	< 0	< 0
5	< 0	> 0	> 0
6	< 0	> 0	< 0
7	< 0	< 0	> 0
8	< 0	< 0	< 0

Optimización

Actividad resuelta

El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio.

Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son

G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x² + 2500x + 15000,

siendo x el nº de bajadas de 1 € en el precio de la entrada.

Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.

La primera coordenada del vértice es:  .

El número real de descuentos de  1 € que garanticen un máximo de ganancias se obtienen para:

x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  € )

x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  €)

Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de  30625 €.

Actividades
Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.
Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x² + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.

Intersección de recta y parábola

Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas.

Actividades resueltas
Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x².

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x ₁ = 1 y x₂ = -2.

Si x₁ = 1, entonces y₁ = 1.

Si x₂ = -2, entonces y₂ = 4.

Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente.

Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.
Estudiar la intersección de la parábola y = -x² con la recta y = -6x + 9 .

El sistema tiene ahora una solución (3,-9).

Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.
Estudiar la intersección de la parábola y = -x² y la recta y = -x + 5.

El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.

En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:

según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.

Actividad resuelta
Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x² + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema , que tiene dos soluciones:

x₁= 6/4 = 1'5 (y₁= 3) y x₂= -1, que no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3).

Actividad
Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x² + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.

a.   Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b.   ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

Área bajo de una curva

Podemos estimar el área encerrada por una curva . Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola  y = 4x - x² con x tomando valores desde 0 hasta 4.

A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos , cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.

Sólo necesitas recordar :

Área del triángulo =; Área del trapecio =

En nuestro caso, , , y , cuya suma total proporciona un área aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área total)

Actividad resuelta
El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se corresponde con la curva con x tomando valores desde -20 hasta 20.

Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:

que nos proporciona la gráfica adjunta.

La suma de estas áreas es de 690 m ².

El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).

Actividades
Dibuja la gráfica de para valores de x desde 0 hasta 5.
Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para construir esta pieza.
Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por la ecuación con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.

Aporte de Alina de Cauca

Conocimientos previos que se deben considerar al enseñar el tema de las funciones cuadráticas:

· Definición de función

· Elementos de una función (dominio, rango)

· Notación de funciones

· Evaluación de funciones

· Clasificación de las funciones (función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva)

· Función inversa

· Función identidad

· Función lineal

¿Qué metodología didáctica permite una buena introducción y comprensión de la ecuación cuadrática?

La siguiente propuesta tomada de (Secuencia didáctica para la enseñanza de la función cuadrática, María Rey Genicio, Liliana Tapia, Héctor Tarifa, Clarisa Hernández Facultad de Ingeniería- Universidad Nacional de Jujuy- Argentina) es interesante para la introducción del tema, ya que la idea es proponer actividades a los estudiantes, para que ellos puedan construir el concepto de función cuadrática. Algunas actividades planteadas son:

Actividad 1

a) Dado el cuadrado ABCD de 10 cm de lado y cuatro puntos M, N, O y P ubicados según los datos del gráfico; encontrar el área del cuadrado MNOP

b) Repetir la actividad anterior considerando que las medidas de las distancias de los puntos M, N, O y P a los respectivos vértices sean: 4; 6; 9; 2,4; 7,6.

c) Encontrar una fórmula que permita calcular el área del cuadrado MNOP cuando la distancia a los vértices es x cm.

d) Investigue cuál será la distancia de los puntos M, N, O y P a los respectivos vértices para que el área sea mínima.

Actividad 2

a) Con los resultados obtenidos en la actividad anterior armar una tabla de valores.

b) Volcar los datos en un sistema de coordenadas cartesianas.

c) Teniendo en cuenta lo trabajado hasta el momento:

i) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable independiente?

ii) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable dependiente?

iii)¿Se pueden unir los puntos del gráfico con una curva?

Actividad 3

a) Realizar una tabla de valores y representar gráficamente en un sistema de coordenadas

cartesianas la función: y = x²

b) Del gráfico obtenido en el punto anterior escribir lo que se observa en cuanto a

eje de simetría y coordenadas del vértice.

c) Detallar las similitudes y diferencias que se observan al comparar los gráficos de: y = x²

con Area(x) = 2 x² – 20 x + 100

d) Modificar la fórmula de la función y = x² para que la parábola:

i) Quede abierta hacia abajo.

ii) La curva sea más cerrada

iii) La curva sea más abierta.

iv) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia arriba.

v) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia abajo.

vi) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia la izquierda.

¿Para qué temas la función cuadrática es un aprendizaje previo?

· Función cúbica

· Funciones polinomiales

· Función racional

· Función irracional

· Función exponencial

· Función logarítmica

Métodos para solucionar una ecuación cuadrática

· Solución por factorización

· Solución por completación de cuadrados

· Solución por la fórmula general

Podemos aplicar estos métodos para resolver situaciones como:

· La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

· El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

· La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y (t) = 100t - 5t², donde t se mide en segundos y la altura y (t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?

I) 6 segundos

II) 10 segundos

III) 14 segundos

Alternativas

A) Sólo en I

B) Sólo en II

C) Sólo en III

D) Sólo en I y en II

E) Sólo en I y en III