Creación de un recurso para máximos y mínimos con derivadas

Task Discussion

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  StefanBorn   July 17, 2012, 4:21 a.m.

  Lo siguiente es la contribución de Denis Alvarez Mora (Cuba) al téma 'Creación de recursos para máximos y minimos'. 

   

   

  Objetivo del curso

  Objetivo del curso

  Mostrar a los estudiantes situaciones donde se hace necesario la búsqueda de los valores extremos de una función aplicando la derivada.

   

  Vínculos a aprendizajes previos

  Área y volumen de figuras geométricas

  (http://www.ditutor.com/geometria_espacio/figuras_geometricas.html)

  Fórmulas físicas para determinar la velocidad con que se mueve un cuerpo

  http://www.taringa.net/posts/hazlo-tu-mismo/7278746/Formulas-de-fisica.html

  Funciones, continuidad y derivabilidad.

  http://www.ecured.cu/index.php/Funci%C3%B3n

  http://www.ecured.cu/index.php/Funciones_continuas

  http://www.ecured.cu/index.php/Derivada_de_una_funci%C3%B3n

   

  Vínculos a aprendizajes del cual este es previo

  Construcción de gráficas

  http://www.aprendes.com/estudios2/matbat/analisis/aplider/unidad.asp

  Extremos de funciones de varias variables.

  www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3a3_1.html

   

   

  Desarrollo del tema

  Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo son los problemas de optimización, en los cuales se nos pide la manera óptima (la mejor) de hacer algo. Estos problemas se reducen a encontrar los valores máximos o mínimos de una función. Expliquemos con exactitud lo que queremos decir cuando hablamos de valores máximos y mínimos, primero enunciemos el teorema del valor extremo

  Teorema del valor extremo: si f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b] entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d en [a,b].

  Este teorema sólo nos dice que una función continua sobre un intervalo cerrado tiene valores extremos pero no nos dice como determinarlos. Tengamos en cuenta primeramente el Teorema de Fermat:

  Teorema de Fermat: si f tiene un máximo local o un mínimo local en c y si existe, entonces

  El número c tiene un nombre especial: número crítico. Por tanto podemos decir que los puntos críticos son aquellos puntos que indefinen o anulan la primera derivada.

  La siguiente prueba nos brinda un método para buscar los valores extremos de una función o para probar la no existencia de dichos valores:

  Prueba de la primera derivada: si c es un número crítico de una función continua f

  1. si cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c.

  2. si cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c.

  3. si no cambia de signo en c, entonces f carece de valor extremo en c.

   

  Los métodos para determinar los valores extremos citados en esta primera parte tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida: maximizar áreas, volúmenes y utilidades, minimizar distancias, tiempos y costos.

  En la solución de esos problemas prácticos el desafío más grande suele ser convertir el problema en palabras en un problema matemático de optimización, establecer la función que debe maximizarse o minimizarse.

  La siguiente guía es de gran utilidad.

  Guía para resolver problemas aplicados de máximos y mínimos.

  1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades desconocidas que se tratan de encontrar.

  2. De ser posible, hacer un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas. Las palabras como, qué encontrar, dónde o cuándo suelen estar asociadas a las cantidades desconocidas.

  3. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.

  4. Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y expresar esta variable como una función de una de las otras variables.

  5. Encontrar los números críticos de la función obtenida en el paso 4 e investigar si corresponden a máximos o mínimos.

  6. Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se obtuvo en el paso 4.

  7. No desanimarse si no se puede resolver algún problema. Adquirir habilidad para resolver problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y práctica. ¡Hay que seguir intentando!

   

  Algunos ejemplos de problemas de optimización

  Ejemplo 1: se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo

   

  Ejemplo 2: se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa que tenga un volumen de 24. El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se empleará para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación.

   

  Ejemplo 3: una carretera que va de norte a sur y otra que va de este a oeste se cruzan en un punto P. un vehículo que viaja hacia el este a 20 km/h, pasa por P a las 10:00 am. En ese mismo momento un automóvil que viaja hacia el sur a 50 km/h se encuentra 2 km al norte de P. calcular cuándo se encuentran los dos vehículos más cerca uno del otro y cuál es la distancia mínima entre ellos.

   

  Autoevaluación

  • defina punto crítico.

  • ¿cómo determina usted si en un punto crítico c una función f alcanza el valor máximo?

  • Se va a producir una lata que contenga 1L de aceite. Encuentre las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.

   

  Encuesta

  ¿Considera útil este recurso? ¿Por qué?

• 
  Juan Carlos Trujillo   July 3, 2012, 10:27 a.m.

  Objetivo del recurso:

  Ofrecer un ejemplo en el que no existe el volumen máximo ni mínimo.

  Vìnculos a aprendizajes previos:

  • Funciones, continuidad, derivabilidad,
  • área y volumen de figuras geométricas,
  • teorema de Pitágoras

  Vínculos a aprendizajes del cuál este es previo (poscondiciones):

  • Determinación de la imagen de una función,
  • realizar la gráfica de una función.

  Desarrollo del tema

  • Este ejemplo muestra que la función que describe el volumen de la pirámide está definida en un intervalo del tipo (0,a), y, aunque la función es continua, no podemos aplicar el teorema

  Teorema: Una funcion continua f:[a,b]→R tiene maximo y minimo (plagio del post de Stefan Born).

  En este caso, la función es creciente en (0,a).

  • El otro aspecto útil de este ejemplo es que, para encontrar la función que describe el volumen, se utilizan únicamente tres aspectos geométricos que, lamentablemente, los estudiantes, al menos en los colegios de Ecuador, aprenden cada vez menos:
    • 
      La simetría en un cuadrado,
    • la fórmula del volumen de una pirámide,
    • el teorema de Pitágoras.

  (He puesto en orden de mayor a menor respecto de lo que "aprenden menos").

  Auto-evaluación

  Tres o cuatro problemas en los que únicamente se tenga que encontrar la función a "maximizar" o "minimizar" (utilizando conceptos geométricos básicos, que incluye, semejanza de triángulos), y que se pueda decidir, sin necesidad de calcular, si tienen o no máximo o mínimos globales.

  Encuesta:

  ¿Le ayudó este recurso? ¿Por qué?

• 
  Elias Colipe   July 2, 2012, 8:38 p.m.

   

  Algunos Chiste

   

  1.- ¿Qué le dice la curva a la tangente? ¡No me toques!. 
  
  2.- ¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas. 
  
  3.- ¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas? -No hijo, no estaría bien. -Bueno, inténtalo de todas formas. 
  
  4.- En un examen oral, un profesor pregunta: "¿Por qué toma usted el valor absoluto de esa exponencial?". El estudiante se da cuenta de su error, e intenta "arreglarlo": "Para que sea más positivo todavía". 
  
  5.- Le preguntan a un matemático: - ¿Tú qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente una manguera sin conectar a una boca de riegos?. La conectaría, obviamente. ¿Y si la casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada?. Quemaría la casa, desconectaría la manguera y luego usaría el método anterior. 
  
  6.- ¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario. 
  
  7.- Dos vectores se encuentran y uno le dice al otro: ¿Tienes un momento?. 
  
  8.- Me gustan los polinomios, pero solo hasta cierto grado. 
  
  9.- Un estadístico podría meter su cabeza en un horno y sus pies en hielo, y decir que en promedio se encuentra bien. 
   

• 
  StefanBorn   July 2, 2012, 6:28 p.m.

  Máximos y mínimos

   

  Vínculos a aprendizajes previos (precondiciones)

  Funciones, continuidad, derivadas.

   

  Vínculos a aprendizajes del cuál este es previo (poscondiciones)

  Para la descripción de los imagenes f([a,b]) ,  y entonces para la descripción de la gráfica de una función (sin compudadora).

   

   

  Desarrollo del tema

   

  1. Motivación

   

  Ese tema se puede muy bien proponer a través un problema como el ejemplo geometrico de Juan Carlos. Optimización es seguramente una de las aplicaciones mas importantes de la matemática en la ciencia, la tecnica y la economia. Aquí me parece importante averiguar los intereses de los estudiantes.

   

  Mas ejemplos:

  • (geometría) ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro del volumen máximo que se puede cortar de un metro cuadrado de papel?
    ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro de la superficie minima entre todos los cilindros del volumen 1 m³?
    Problema de Dido con rectangulos: Te doy una cuerda que mide 1000m de longitud y te prometa de regalarte un trozo de tierra rectangular que puedes encierrar con la cuerda. ¿Cuáles son las dimensiones del rectangulo que tiene la superficie maximal?
     
  • (física) La persona en (0,0) quiere encontrar su amigo en (c,b). Tiene que correr en una linea recta hasta que llega a un canal y despues nadar en línea recta a través el canal. Cuando esta corriendo tiene la velocidad v₁, y cuando esta nadando la velocidad v₂. Tiene la liberdad de eligir el punto (s,a), donde llega al borde del canal. ¿Para que valor de s, la persona alcanza a su amigo lo mas temprano?
    Se puede introducir el mismo problema con un modelo diferente: Un rayo de luz, que pasa a traves dos medios diferentes. El tiempo mas corto corresponde a la ley de la refracción.
    
     
  • (economía) (Aquí voy a incluir un ejemplo que no se puede resolver con derivadas, pero que es caracteristico para optimización en la economía.) Patatas contienen 15% de carbohidratos y 2% de proteina, mientras que el maís contiene 65% de carbohidratos y 10% de de proteina, y necesito al menos a gramos de carbohidratos y b gramos de proteina por día. Entonces sie el precio de papas es de A (dolares por kilo) y el precio de maís es de B (dolares por kilo), entonces con que proporción de papas y de maís en mi dieta gasto menos para comer carbohidratos y proteína en medida suficiente.
     

   

  2. Analisis del tema

   

  Se empieza con la definicion de supremo, máximo, ínfimo y mínimo, máximo y mínimo local.
  En general, ya la nocion de supremo y infimo no les resulta facil.

   

  Para conocer el problema se miran algunos casos

  • f:R→R, x→ x tiene ±∞ como supremo/ínfimo.
     
  • f:R→R, x→ arctanx tiene ±π/2 como supremo/ínfimo, pero no tiene ni máximo ni mínimo.
     
  • Quizas se mira tambien una función discontinua f:[0,1]→R, que no tiene máximo (por ejemplo f(1/n):=n, n ∈ N y f(x)=0 en los otros casos.)
     

   

  Teorema: Una funcion continua f:[a,b]→R tiene maximo y minimo.

   

  Puede tener el valor maximo/minimo en a o b o en el intervalo ]a,b[. Los/las estudiantes se hacen graficas para esos casos. Se pregunta:

   

  ¿Si f:R→R asuma un máximo/mínimo local en x, y si la grafica de f tiene una tangente en (x,f(x)), que se puede decir de la tangente?

   

  Entonces los estudiantes descubren:

   

  Teorema: Si una funcion diferenciable f:]a,b[→R asuma un minimo/maximo local en x, entonces f′(x)=0.

   

  Me parece importante repetir, que un minimo/maximo local en el borde de un dominio de definicion [a,b] no tiene esa propriedad.

   

  Se repite con eso la definicion de 'diferenciable', y se mira la demonstración del teorema.

   

  Para abordar los criterios suficientes de un minimo/maximo local, hay diferentes caminos.

   

  1. O se habla de una aproximación de Taylor de orden 2 y se mira la forma de los polinomios de grado 2,
      
  2. o se habla de la relación entre monotonía de la funcion y su derivade. Si una funcion esta cresciente para x < a y ascendente para x > a, entonces habra un maximo local em a. Eso ocurre, si para una funcion dos veces diferenciable f′(a)=0 y f"(a) < 0.
     
     
      

  Auto-Evaluación

  1. ¿Tiene un maximo la función f:[-1,2]->R, f(x)=x^2? Cual?
  2. ¿Tiene un maximo la función f:[-1,2]->R, f(x)=x^2? Cual?
  3. ¿Tiene un maximo la función f:]-1,2[->R, f(x)=x^2? Cual?
  4. ¿Hay funciones que tienen minima/maxima locales, pero no globales?
  5. ¿ Encunentra un maximum/minimum local de f:R->R, f(x)= x^3-3x^2-9x+1?

   

  Para el humor: Sigo buscando...

• 
  Jhoana Sandoval   July 2, 2012, 5:53 p.m.

   

  Creación de un recurso para máximos y mínimos con derivadas

  Conocimientos previos

  ·         Teorema de los valores extremos

  ·         Continuidad y derivada de una función

  ·         Criterio de la primera y segunda derivada

  ·         Área y volumen de figuras

  ·         Valores máximos y mínimos en una función

  Temas para el cual el tema máximos y mínimos con derivadas es un conocimiento previo

  ·         Gráfica de funciones

  ·         Para describir fenómenos físicos

  Desarrollo del tema

  En una perspectiva más amplia, se puede observar que los problemas de optimización son parte fundamental de la matemática y ya estaban presentes en los tratados de los griegos de la antigüedad, por ejemplo, es importante mencionar que Fermat (1601-1665), antes que Newton y Leibniz publicaran sus trabajos sobre el cálculo diferencial, inventó métodos ingeniosos para  obtener valores máximos y mínimos; que Jean Baptista-Joseph Fourier  (1768-1830) mostró aproximaciones intuitivas a métodos de optimización actualmente considerados en la programación lineal, además, en la actualidad, la optimización de funciones es de gran interés porque permite resolver problemas en varias áreas del conocimiento como en física, geometría, aritmética, economía, etc. Por esta razón, en la mayoría de carreras enseñan este tema, pero un problema común que se presenta en cálculo es que “los alumnos resuelvan problemas de máximos y mínimos casi mecánicamente: derivando la función de la cantidad que se quiere optimizar, igualando a cero y resolviendo la ecuación resultante. Una vez resuelto el problema, los alumnos ignoran la fase de visión retrospectiva para resolver problemas”[1] Así, es importante que el tutor ayude a los alumnos a interpretar los resultados  que se obtienen del problema que se resuelva.

  En los siguientes enlaces se muestran algunos pasos para resolver situaciones problemas que involucran máximos y mínimos del cálculo diferencial, como también la resolución de algunos problemas geométricos.

  http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_10_1.pdf

  http://algebratotal.blogspot.com/2011/12/aplicaciones-de-maximos-y-minimos.html

  http://www.gratis2.com/2011/12/aplicacion-maximos-y-minimos-derivadas.html?spref=bl

   

  Auto-evaluación

  1) ¿A qué se llama valores extremos de una función?

  2) defina máximo y mínimos absoluto y máximo y mínimo relativo

  3) ¿Una función siempre tiene valores extremos?

  4) ¿Cuántos máximos y mínimos absolutos puede tener una función? ¿y relativos? Ejemplifique

  5) Puede un máximo relativo ser menor que un mínimo relativo? Justifique.

  6) ¿Cuáles son las condiciones necesarias para la existencia de extremos relativos de una función?

  7) Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m². Determinar el radio de la base y la altura, para que éste tenga un volumen máximo.

  8)  Se tiene una cartulina de forma rectangular con base igual a 30cm y 20cm de altura. Se quiere construir un cajón sin tapa con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina. Calcular x para que el volumen resultante del cajón sea máximo.

  Encuesta: Opina sobre el desarrollo del tema:

  

   

  Sesión de humor:

  …y se les queda debiendo la sesión de humor porque... es MÁXIMAMENTE imposible encontrar un MÍNIMO chiste de ese tema...

  Aporte del Grupo de pedagogía UNICAUCA.

   

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  [1] Soluciones geométricas a problemas de máximos y mínimos. Alfinio Flores Peñafiel. 1997